FORMULA:
f (x) = ax n
f (x) = anx n-1
Ejemplo:
f (x) = 3x4
f (x) = 12x3
f (x) = ax n
f (x) = anx n-1
Ejemplo:
f (x) = 3x4
f (x) = 12x3
¨Reglas básicas¨
1.Para una constante ¨a¨:
Si f(x) = a, Su derivada es f´(x) = 0 “por que no tiene variable ni exponente”
Ejemplo:
Si f(x) = 3, Su derivada f´(x) = 0
2.Para la función identidad:
Si f(x)=x, su derivada es f´(x)=1´
Ejemplo:
si f(x)=x, su derivada es f´(x)=1
3.Para una constante “a” por una variable “x”:
Si f(x)=ax, su derivada es f´(x)=a
Ejemplo:
Si f(x)=10x, su derivada es f´(x)=10
4.Para una variable ”x” elevada a una potencia “n”:
Si f(x)=x, su derivada es f´(x)=nx
Ejemplo:
Si f(x)=x5, su derivada es f´(x)=5x4
5.Por una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia ”n”:
Si f(x)=ax, su derivada es f´(x)=anx
Ejemplo:
si f(x)=7x2, su derivada es f´(x)=14x
“SUMA DE FUNCIONES”
Para derivar una suma o resta de funciones se deriva cada termino:
Si f(x)=u(x)+v(x),
su derivada es f´(x)=u´(x)+v´(x)
Ejemplo:
Si f(x)=2x3+ 8x, su derivada es f´(x)=6x2+8
“REGLA DEL PRODUCTO”
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios; si “u” y ”v” son los polinomios:
La función: f(x)=uv
Su derivada:f´(x)=u´v+uv´
Procedimiento:
1° derivar
2° sustituir
3° multiplicar
4° juntar términos semejantes
Ejemplo:
F(x)=(7x+2)(2x2-3x+6)
F´(x)=(7)(2x2-3x+6)+(7x+2)(4x)
F´(x)=4x2-21x+42+28x2+8x
F´(x)=42x2-13x+42
“REGLA DEL COCIENTE”
Esta regla es util cuando se tiene una funcion formada de la divicion de polinomios; si “u” y “v” son los polinomios:
La función:f(x)= u/v
Su derivada: f´(x)=u´v-uv´/v
Procedimiento:
1° derivar
2° sustituir
3° multiplicar
4° juntar términos semejantes
Ejemplo:
F(x)=3x4+4/2x3-1
F´(x)=(12x3)(2x3-1)-(3x4+4)(6x2)/(2x3-5) 2
F´(x)=24x6-12x3-18x6 +24x2/(2x3-5) 2
F´(x)=6x6-12x3+24x2/(2x3-5) 2
“REGLA DE CADENA”
Esta regla es util cuando se tiene una function formada por un polinomio elevado a una potencia; si “u” es el polinomio:
La función: f(x)=u
Su derivada:
F´(x)=n(u) (u´)
Procedimiento:
1° pasar el exponente como 1° termino, función igual y se elimina al exponente.
2° se deriva la funcion
3°pasar el termino derivado a 2° termino y multiplicarlo
4° pasar la función igual
Ejemplo:
F(x)=(7x2+4) 3
F´(x)=3(7x +4) 2(14x)
F´(x)=42x(7x +4) 2
RAZON DE CAMBIO PROMEDIO ΔY/ΔX
1.-detrminar el incremento de la variable “X” a Δx
Formula: Δx=x2-x1
2.-determinar el incremento de la variable “Y” a Δy
Formula: f(x)=f(x2)-f(x1)
3.- Determinar ΔY/ΔX
4.- intervalo de x+ Δx a x
ΔY/ΔX=f(x+ΔX) – f(x)/ΔX
ΔY/ΔX=f(x2) – f(x1)/ΔX
Ejemplos:
1.-detrminar el incremento de la variable “X” a Δx
F(x)=3x+2 x1=4 x2=5
Formula: Δx=x2-x1
Δx=5-4=1
2.-determinar el incremento de la variable “Y” a Δy
3x+2
Formula: f(x)=f(x2)-f(x1)
F(x)=(3(5)+2)-(3(4)+2)= 17-14=3 Δy=3
3.- Determinar ΔY/ΔX = 3/1=3
4.- intervalo de x+ Δx a x
F(x)=2x2 -10 x=4 Δx=3
ΔY/ΔX=f(x+ΔX) – f(x)/ΔX=(4+3)2 +10-((4)2 -10)=14+10-6=18 ΔY/ΔX=18
X1=3 x2=6
ΔY/ΔX=f(x2) – f(x1)/ΔX=6-3=3
CAPITULO 4: “APLICACIÓN DE LA DERIVADA”:
TEMA 1: LA ECUACION DE LA LINEA TANGENTE:
Si una función es derivable en un punto P(X1,Y1) entonces la grafica de una función tiene una tangente de dicho punto cuya pendiente es m1=f’(x1).
*la línea tangente es la recta que toca un punto de la curva.
*punto de tangente es el punto en común de la curva y de la línea tangente.
CASO 1:
Es cuando se nos presentan 3 datos; la función el punto “X” y el punto ”Y”:
PROCEDIMIENTO:
1° Se deriva la función.
2° Se sustituye el punto “x” en la función derivada.
3° Sustituir el punto tangencia en la ecuación punto pendiente.
Ejemplo del Caso 1:
3x2+4x+9 punto tangencia(5,3)
1° f´(x)=6x+4
2° 6(5)+4 m=34
3° y-3=34(x-5)= y=34x-170+3 y=34x+173
CASO 2:
PARA DETRMINAR LA LINEA TANGENTE DE UNA FUNCION DERIVADA EN LA QUE NOS APORTEN SOLO 2 DATOS:
PROCEDIMIENTO:
1° Sera necesari sustituir la función por que no tenemos el punto de “Y”.
2° Se deriva la función.
3° Sustituir el punto de “x” en la función derivada.
4° Sustituir elpunto de tangencia en la ecuación punto pendiente.
Ejemplo Caso 2:
x2-5x+2 en x=3
1° (3) 2-5(3)+2= 9-15+2 y=-4
2°2x-5= 2(3)-5 m=1
3° y+4=1(x-3)= y=x-3-4 y=x+7
Puntos críticos, máximos o mínimos
El punto crítico se ubica en el punto tangencial de una recta horizontal con pendiente “0”.
Ejemplo:
1.Para una constante ¨a¨:
Si f(x) = a, Su derivada es f´(x) = 0 “por que no tiene variable ni exponente”
Ejemplo:
Si f(x) = 3, Su derivada f´(x) = 0
2.Para la función identidad:
Si f(x)=x, su derivada es f´(x)=1´
Ejemplo:
si f(x)=x, su derivada es f´(x)=1
3.Para una constante “a” por una variable “x”:
Si f(x)=ax, su derivada es f´(x)=a
Ejemplo:
Si f(x)=10x, su derivada es f´(x)=10
4.Para una variable ”x” elevada a una potencia “n”:
Si f(x)=x, su derivada es f´(x)=nx
Ejemplo:
Si f(x)=x5, su derivada es f´(x)=5x4
5.Por una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia ”n”:
Si f(x)=ax, su derivada es f´(x)=anx
Ejemplo:
si f(x)=7x2, su derivada es f´(x)=14x
“SUMA DE FUNCIONES”
Para derivar una suma o resta de funciones se deriva cada termino:
Si f(x)=u(x)+v(x),
su derivada es f´(x)=u´(x)+v´(x)
Ejemplo:
Si f(x)=2x3+ 8x, su derivada es f´(x)=6x2+8
“REGLA DEL PRODUCTO”
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios; si “u” y ”v” son los polinomios:
La función: f(x)=uv
Su derivada:f´(x)=u´v+uv´
Procedimiento:
1° derivar
2° sustituir
3° multiplicar
4° juntar términos semejantes
Ejemplo:
F(x)=(7x+2)(2x2-3x+6)
F´(x)=(7)(2x2-3x+6)+(7x+2)(4x)
F´(x)=4x2-21x+42+28x2+8x
F´(x)=42x2-13x+42
“REGLA DEL COCIENTE”
Esta regla es util cuando se tiene una funcion formada de la divicion de polinomios; si “u” y “v” son los polinomios:
La función:f(x)= u/v
Su derivada: f´(x)=u´v-uv´/v
Procedimiento:
1° derivar
2° sustituir
3° multiplicar
4° juntar términos semejantes
Ejemplo:
F(x)=3x4+4/2x3-1
F´(x)=(12x3)(2x3-1)-(3x4+4)(6x2)/(2x3-5) 2
F´(x)=24x6-12x3-18x6 +24x2/(2x3-5) 2
F´(x)=6x6-12x3+24x2/(2x3-5) 2
“REGLA DE CADENA”
Esta regla es util cuando se tiene una function formada por un polinomio elevado a una potencia; si “u” es el polinomio:
La función: f(x)=u
Su derivada:
F´(x)=n(u) (u´)
Procedimiento:
1° pasar el exponente como 1° termino, función igual y se elimina al exponente.
2° se deriva la funcion
3°pasar el termino derivado a 2° termino y multiplicarlo
4° pasar la función igual
Ejemplo:
F(x)=(7x2+4) 3
F´(x)=3(7x +4) 2(14x)
F´(x)=42x(7x +4) 2
RAZON DE CAMBIO PROMEDIO ΔY/ΔX
1.-detrminar el incremento de la variable “X” a Δx
Formula: Δx=x2-x1
2.-determinar el incremento de la variable “Y” a Δy
Formula: f(x)=f(x2)-f(x1)
3.- Determinar ΔY/ΔX
4.- intervalo de x+ Δx a x
ΔY/ΔX=f(x+ΔX) – f(x)/ΔX
ΔY/ΔX=f(x2) – f(x1)/ΔX
Ejemplos:
1.-detrminar el incremento de la variable “X” a Δx
F(x)=3x+2 x1=4 x2=5
Formula: Δx=x2-x1
Δx=5-4=1
2.-determinar el incremento de la variable “Y” a Δy
3x+2
Formula: f(x)=f(x2)-f(x1)
F(x)=(3(5)+2)-(3(4)+2)= 17-14=3 Δy=3
3.- Determinar ΔY/ΔX = 3/1=3
4.- intervalo de x+ Δx a x
F(x)=2x2 -10 x=4 Δx=3
ΔY/ΔX=f(x+ΔX) – f(x)/ΔX=(4+3)2 +10-((4)2 -10)=14+10-6=18 ΔY/ΔX=18
X1=3 x2=6
ΔY/ΔX=f(x2) – f(x1)/ΔX=6-3=3
CAPITULO 4: “APLICACIÓN DE LA DERIVADA”:
TEMA 1: LA ECUACION DE LA LINEA TANGENTE:
Si una función es derivable en un punto P(X1,Y1) entonces la grafica de una función tiene una tangente de dicho punto cuya pendiente es m1=f’(x1).
*la línea tangente es la recta que toca un punto de la curva.
*punto de tangente es el punto en común de la curva y de la línea tangente.
CASO 1:
Es cuando se nos presentan 3 datos; la función el punto “X” y el punto ”Y”:
PROCEDIMIENTO:
1° Se deriva la función.
2° Se sustituye el punto “x” en la función derivada.
3° Sustituir el punto tangencia en la ecuación punto pendiente.
Ejemplo del Caso 1:
3x2+4x+9 punto tangencia(5,3)
1° f´(x)=6x+4
2° 6(5)+4 m=34
3° y-3=34(x-5)= y=34x-170+3 y=34x+173
CASO 2:
PARA DETRMINAR LA LINEA TANGENTE DE UNA FUNCION DERIVADA EN LA QUE NOS APORTEN SOLO 2 DATOS:
PROCEDIMIENTO:
1° Sera necesari sustituir la función por que no tenemos el punto de “Y”.
2° Se deriva la función.
3° Sustituir el punto de “x” en la función derivada.
4° Sustituir elpunto de tangencia en la ecuación punto pendiente.
Ejemplo Caso 2:
x2-5x+2 en x=3
1° (3) 2-5(3)+2= 9-15+2 y=-4
2°2x-5= 2(3)-5 m=1
3° y+4=1(x-3)= y=x-3-4 y=x+7
Puntos críticos, máximos o mínimos
El punto crítico se ubica en el punto tangencial de una recta horizontal con pendiente “0”.
Ejemplo:
las funciones de 3° tienen 2 puntos criticos uno minimo y otro maximo; asi mismo un solo punto de inflexion.
Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0
TEMA 3: ECUACION DE LA LINEA NORMAL
La recta normar a la curva en un punto de tangencia dado es una recta perpendicular a la tangente de dicho punto:
La recta normar a la curva en un punto de tangencia dado es una recta perpendicular a la tangente de dicho punto:
Para determinar la pendiente de una línea normal se utiliza la formula: 1/f´(x)
CASO 1:
DETERMINAR LA ECUACION DE LA LINEA NORMAL A LA FUNCION EN EL PUNTO X=1
1° sustituir “x” en la ecuación de la curva para detrminar “y”.
2° determinar la pendiente mediante la formula de la pendiente.
3°sustituir la ecuación de la forma punto pendiente.
Ejemplo del caso 1:
Detrminar ecuación de la línea normal a la función x2+2x-4 en el punto x=3
1° (3) 2+2(3)-4=9+6-4 y=11
2°m=-1/2x+2= -1/2(3)+2=-1/8 m=-0.125
3° y-11=-0.125(x-3)= y=-0.125x+14
CASO 2:
DETRMINAR LA ECUACION DE LA LINEA NORMAL DE LA FUNCION EN EL PUNTO TANGENCIA
1° Determinar la pendiente mediante la formula de la pendiente.
2° sustituir ecuación punto-pendiente
Ejemplo del caso 2:
Determina la ecuación de la línea normal de f(x)=x2 -4x+2 en el punto de tangencia(1,4)
1°m=-1/2x-4= -1/2(1)-4 = -1/-2 m= -.5
2°y-4=-.5(x-1)= y=.5x+5
TEMA: CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION
Se dice que las funciones son cóncavas:
CASO 1:
DETERMINAR LA ECUACION DE LA LINEA NORMAL A LA FUNCION EN EL PUNTO X=1
1° sustituir “x” en la ecuación de la curva para detrminar “y”.
2° determinar la pendiente mediante la formula de la pendiente.
3°sustituir la ecuación de la forma punto pendiente.
Ejemplo del caso 1:
Detrminar ecuación de la línea normal a la función x2+2x-4 en el punto x=3
1° (3) 2+2(3)-4=9+6-4 y=11
2°m=-1/2x+2= -1/2(3)+2=-1/8 m=-0.125
3° y-11=-0.125(x-3)= y=-0.125x+14
CASO 2:
DETRMINAR LA ECUACION DE LA LINEA NORMAL DE LA FUNCION EN EL PUNTO TANGENCIA
1° Determinar la pendiente mediante la formula de la pendiente.
2° sustituir ecuación punto-pendiente
Ejemplo del caso 2:
Determina la ecuación de la línea normal de f(x)=x2 -4x+2 en el punto de tangencia(1,4)
1°m=-1/2x-4= -1/2(1)-4 = -1/-2 m= -.5
2°y-4=-.5(x-1)= y=.5x+5
TEMA: CARACTERISTICAS DE UNA FUNCION
Se dice que las funciones son cóncavas:
Las funciones de 3° grado tienen diferentes concavidades:
"hacia abajo y hacia arriba"
Asi mismo existe otra característica en la que se aprecia que es una función creciente o decreciente. 
CRECIENTE cuando "x"
y "y" aumentan...
DECRECIENTE cuando
"x" aumenta y "y" disminuye...
El punto de inflexión esta ubicado en el valor de “x”en el que cambia la dirección de una concavidad puede ser de: 
El punto de inflexión se determina en base a la 2° derivada de la función.
PROCEDIMIENTO:
1° derivar la función 2 veces f´´(x)
2° igualar a “0”
3° sustituir “x” en la ecuación original
Ejemplo:
x3-9x+2
1°3x2-9
6x
2° 6x=0 x=0/6 x=0
3°2(0) 3-9(0)+2=2 y=2
Punto de inflexión: (0,2)
PC
PROCEDIMIENTO:
1° derivar la función 2 veces f´´(x)
2° igualar a “0”
3° sustituir “x” en la ecuación original
Ejemplo:
x3-9x+2
1°3x2-9
6x
2° 6x=0 x=0/6 x=0
3°2(0) 3-9(0)+2=2 y=2
Punto de inflexión: (0,2)
PC
x3-9x+2
3x2-9/3=x2-3
(x-3)(x+1)
X=3 x=-1
3(3)3-9(3)+2
81-27+2 = 56 (3,56)
3(-1) 3-9(-1)+2
-3+9+2=8 (-1,8)
3x2-9/3=x2-3
(x-3)(x+1)
X=3 x=-1
3(3)3-9(3)+2
81-27+2 = 56 (3,56)
3(-1) 3-9(-1)+2
-3+9+2=8 (-1,8)
PUNTOS CRITICOS MAXIMOS Y MINIMOS, PUNTOS DE INFLEXION DE FUNCIONES DE 4°GRADO:
las funciones de 4° grado tienen 3 puntos criticos y 2 puntos de inflexion.
